活動拠点を移すって英語でなんて言うの？

アスリートはより良いトレーニング環境を求めて、別の国に引っ越します。
という意味になります。

In search for 〜..... 〜を求めて
Environment......... 環境

ほかにも、
Move to をShift to に変えてもいいでしょう。

どうでしょうか。

Move＝移動、動かす
「main base of activities」「活動の主な拠点」＝「活動拠点」