I'm going to bed after this.
【訳】このあと寝ます。
I'm going to sleep after this lesson is done.
【訳】このレッスンが終わったら寝ます。
「寝る」は go to bed か go to sleep と言います。
未来のことなので正確には I will go 〜なのかもしれませんが、直近の未来なので口語ではこのように言うことが多いです。
また、「これから」を from now と訳してしまうのはよくあることですが、挙げていただいた例の場合にはfrom nowは使わないので注意が必要です。
It will be 5 years later from now. 「現在から５年後のことになるでしょう」
I decided to continue studying English from now on. 「これからずっと英語を勉強し続けようと決めました」
などの場合には使います。
「これから寝るところです」と言いたい場合には、I was about to go to bed.「もう少しで寝るところでした」と言う方がメジャーです。
それぞれの回答を直訳すると、以下のような意味になります。
【回答１】I'm going to sleep.
「（これから）寝ます。」
【回答２】
「もう寝ます（ベッドに行きます）。」
ご質問にあった会話を英語で考えてみると、こんな感じでしょうか。
「するとそっちは何時なんですか？」
"... then what time is it now there?"
「えっと、朝の１１時なんですけど、実は昨夜全然寝なかったんです。なのでこのレッスンのあとすぐ寝ます、朝食取らないで。」
"Well, now it's 11 in the morning. But I 'haven't slept at all last night. So I go to bed right after this lesson, without having breakfast."
ご参考になれば幸いです！
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