〇〇という愛称で親しまれているって英語でなんて言うの？

親しくは「lovingly」で表現できます。

愛称付けは「nicknamed」。ニックネームがつけられていると言う事です。

従って、「The band is lovingly nicknamed 〇〇」を提案しました。
例文：
- 「In Japan, the band L'arc en Ciel is lovingly nicknamed LARC」