宿泊って英語でなんて言うの？

Stay the night＝泊まる

宿泊する場合に一番使うフレーズです。

I'd like to stay the night on my business trip to Osaka＝大阪への出張で一泊したい

Stay the nightだと基本的に一泊なので何泊の場合は：

I'd like to stay in a hotel during my trip to Osaka＝大阪への出張の間はホテルで宿泊したい

などと言いましょう。

一応、「宿泊」という名詞は「lodging」に翻訳されますが、この場合、「to stay」の方が当てます。特に「宿泊する」という動詞として使いたかったら、「to lodge」より「to stay」の方が使われています。

例：大阪のホテルで宿泊した。
lodge:　I lodged at a hotel in Osaka.
stay: I stayed at a hotel in Osaka.
どっちも当てますが、stayの方がネイティブ的な言い方です。

GEE様の文：出張で大阪に行くことにしました。できれば宿泊したいです。
I have to go to Oska on a business trip. If possible, I'd like to stay (at your hotel/house).

ご参考にしていただければ幸いです！

「宿泊」は場合によっていろいろなように言えますが二つを説明させていただきます。
'Book accommodation' と 'stay overnight' という表現です。詳細は後で紹介します。

出張で大阪に行くことにしましたら、もちろん大阪に宿泊したいですね。
遠くても遠くなくて大阪は楽しい町ですから夜に遊びに行けたらぜひお勧めです。
自分が昔大阪のホテルで働いていて一人かグループで出張しに来られたサラリーマンが多かったです。

挙げた例の場合は忖度させていただければ、上司に宿泊できるように許可を聞くシーンみたいですね。
その場合は下記のように聞けばいいです。

Ａ：大阪へ出張に行くことになったよ。
Ｂ：そうですか。できれば宿泊したいです。
A: We are sending you on a business trip to Osaka.
B: I see, if possible I would like to stay overnight there.

Ａ：わかった。自分で宿泊を予約してください。
Ｂ：はい、わかりました。
A: Alright. Please book accommodation by yourself.
B: Yes sir, will do.