この場合で「先着50名」の「先」は the first になっていて、「着」は arrive になります。
「50名」は 50/50 people で言えばいいと思います。
「先着50名がレッスンを受けられる」というのは The first 50 people to arrive can take a lesson が自然な言い方になります。
参考になれば幸いです。
例えば：「このキャンペーンは先着50名に限定されます。」
'This offer is limited to the first 50 customers.'
英語では50名の「名」という表現がないので他に名詞を入れ替えないとなりません。
よく使われるのは「お客様」= 'customers' でもレッスンの話であればその替わりに 'students'を使ってもいいと思います。
そしてよく使われる決まった表現は
'first-come-first-served basis' = 先着順
'Participation in the lesson is decided on a first-come-first-served basis to 50 students.'
レッスンは先着順で50名の生徒が受けられる。
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