"I'm losing sleep worrying about my daughter."
「娘のことが心配でよく眠れない」
"Worrying about my daughter kept me up at night."
「娘を心配するあまり眠ることができない」
* Lose sleep: 眠れない様子、睡眠不足になる
* Worry about: 〜〜について心配する、気をもむ
* Keep me up at night: 夜、寝付くことができない
I'm losing sleep と keep me up at night はどちらも眠れない様子を表すフレーズですのでどちらを使っても大丈夫です。敢えて違いを述べると Lose sleep の方は、寝不足という感じであるのに対し Keep me up at night は考え事をしすぎて寝付くことができない、と言ったニュアンスになります。
ご参考になれば幸いです。
I can't sleep, because I'm worried about my daughter.
I'm so worried about my daughter that I can't sleep/fall asleep.
①I can't sleep, because I'm worried about my daughter.
→ 娘のことが心配で眠れない。
②I'm so worried about my daughter that I can't sleep/fall asleep.
→ 眠れない/寝落ちれないほど娘のことを心配してます。
I'm worried sick about my daughter, I can't sleep.
I'm worried sick about my daughter, I can't sleep.
娘のことがすごく心配で眠れない。
眠れないほど気になるのであれば相当心配していると思うので、
worried sick という言い方を使ってみました。
とても心配だったり気になって仕方がない様子を表します。