進行することだけですと「Proceed」が適切な単語です。
例文：
- Proceed with caution（警戒しながら進行する）。
質問者様の場合ですと、進行管理をされるなら「Proceed」よりも「Progress management」が良いかと思います。
例文：
- Recently I've had a lot of tasks involving progress management
「司会進行」は「Organize」だけで良いです：
- This year I am the one charged with organizing the Christmas party
To evolve = 進化する
My relationship with my sister has evolved over time.
私の姉との関係は時間とともに進化してきました。
To proceed = 進行する、続ける
Let's proceed with our discussion!
議論を続けましょう！
To evolve は長期的な変化について使われています。
役に立てば嬉しいです！
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ロシア連邦 
