新規申込書/新規トライアル申込書って英語でなんて言うの？

感覚的に申し込みとは普通は「新規」だと思うので、新規の時は単純にapplication form と言えばいいと思います。もし、仮に更新のための申込書が存在するのであれば application renewal formなどと言えば良いでしょう。

New Application Form だとトピ主さんのおっしゃる通り改訂版の申込書ととらえられると思います。

「トライアル申込書」であれば　何を試すのか前にのせたほうがいいかもですね。

Software Trial Application 「ソフトウェア試用申込書」

参考にしてください。