「私が」＝「I」、「家事をできるくらい」＝「at least help out at home」または「at least do some of the household chores」、「成長してからは」＝「grown up enough to」または「matured enough to」、「両親は」＝「my parents」、「二人で旅行に出かける」＝「go travelling by themselves」、「ようになりました」＝「become able to」、というわけでこのように表現できます：「Since I have grown up enough to help out at home, my parents have been able to go travelling by themselves」
Once I'm able to do all the household chores, my parents will be able to go on a holiday together.
Once～文、Pronoun代名詞～be able to ～「何ができることを説明文」
Once I'm able to do all the household chores「私が家事をできるくらい成長してから」, my parents will be able to go on a holiday together.「両親は二人で旅行に出かけるようになります」
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
Since ... started ...
〜してからは〜するようになった
もちろん文脈等にもよりますが、上記のような英語表現も可能です。
since ... は「〜してから」という意味の英語表現です。
例：
Since I grew up enough to be able to help with chores, my parents started traveling.
私が家事を手伝えるくらい大きくなってからは、両親は旅行に行くようになりました。
ぜひ参考にしてください。
イギリス 
オーストラリア 
アメリカ合衆国 
