副詞 barely は「かろうじて〜」「ぎりぎり〜」という意味で使います。
そこで、「ぎりぎり〜の基準を下回っている」は、
barely below the level of〜
barely below the level which 〜（この場合は 主語+動詞が続きます）
の形になります。
（「基準」という日本語ですが、「社長の承認が必要な水準（level）」としました。）
今回は「〜」の部分が「社長の承認が必要」という内容なので、
which requires the authorization by the President
とするのがいいです。
以上から、全体では
The amount of expense is barely below the level which requires the authorization by the President.
という文になります。
英会話講師のKOGACHIです(^^)/
「基準」はstandardですが、おっしゃられている文脈では、levelの方が適切な感じが個人的にはします。
既に回答に挙がっているbarely以外にも
a little below the level
「基準より少し下」
slightly below the level
「基準よりわずかに下」
のようにも表現できます(*^_^*)
以上ですm(_)m
少しでも参考になれば幸いです(#^^#)
お困りの時は、いつでも気軽にご質問ください(^0^)/
★★どうぞよろしくお願いもうしあげます★★
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日本 
