I made a mistake とは「私は~間違えました」という意味です。「ミスした」を指します。
そして、writing on the application form とは「申請書の書き方」という意味です。「願書を書き込んだとき」を表します。
したがって、I made a mistake writing on the application form 「申請書の書き方を間違えた」
I made a mistake filling out the application form.
申請書や用紙に「記入する」は fill out や fill in を使って言います。
I made a mistake filling out the application form.
「申請書の書き方を間違えた。」
または
I made a mistake filling in the application form.
とも言えます。
fill out / fill in で「書き入れる・記入する」
ご参考になれば幸いです!