ローンを組んだって英語でなんて言うの？

「ローンを組む」は get a loan、または take out a loan です。
自動車ローンならば a car loan、住宅ローンならば a housing loan と
変形できます。

今回の住宅ローンは mortgage または housing loan なので、この２つと
動詞 get、take out の組み合わせならどれでも使えます。
　　　　↓
　get a mortgage、take out a mortgage
　get a housing loan、take out a housing loan

また、I applied for the loan. では申し込んだだけで、
借りられたかどうかがわからないので不十分です。

英訳１：take outにこのような用法があるのをご存知でしたか？ take outは「取り出す」や「取り除く」、「（購読の）申込をする」などなど、いろいろな意味のある句動詞ですが、「（ローンなどを）組む」もその1つです。
to build a houseで「家を建てるために」という意味です。

英訳２：receive a loanでも「ローンを組む」の意味になります。

英訳３：質問者さまのapply forも正解です。ただし、この場合はtheではなくa loanがより適切です。

「ローン」は英語の「loan」です。
「mortgage」は家を担保してローンを組むことです。「mortgage loan」とも言えます。
「took」は「組んだ」に相当し, その現在形は「take」です。
家を建てる、又は買う時のローンは「housing loan」、または「home mortgage loan」になります。

例文１：
I took a housing loan 5 years ago to build this house.
例文２：
I took a home mortgage loan 5 years ago to build this house.
五年前にこの家を建てるためにローンを組んだ。

例文３：
I have never been in debt but I took a housing loan to build this house.
例文４：
I have never been in debt but I took a home mortgage loan to build this house.
借金をしたことはないが家を建てたときローンを組んだ。

参考になれば幸いです。

ローン - loan
ローのを組んだは２つの言い方があります。(過去形）
- Took out a loan
- Got a loan

家を買うため3000万のローンを組んだ
I took out a 30 million yen loan to buy a house.

ローンを組んだけど払いのはできない
I took out a loan but I cant pay it back