Let's make the world without gender discrimination in cooperation with the United States.
男女平等の世界は様々な言い回しがあると思いますが、上記の直訳は「性差別のない世界」となってます。スピーチでお話しされるということですので、タメが大事になるかと思います。
であれば、以下の英文をコンマの箇所で区切りながら喋ると良いかと存じます。内容は同じです。
Let's make the world, that is free from gender discrimination, in cooperation with the United States.
free from...: ...のない
In cooperation with... : ...と協力して
スピーチ頑張ってください^ ^
Let's strive for a world of gender equality with the help of the US
Let's strive for a world of gender equality with the help of the US =アメリカの力を借りて男女平等の世界を実現しよう
Strive for=励む
男女平等=gender equality
男女差別=gender discrimination
「アメリカと」と言う表現ですと"With the US"や"In collaboration with the US"と訳せますが、「アメリカではこう言う問題が多く取り上げられていて改善する努力が他国より進んでいるのでそこを真似していこう」と言う意味で敢えて"With the help of"と答えましたが、ここは質問者さんの意見に沿った訳し方をして下さいね。