I would appreciate taking care of me for next 2 weeks.
I will be in your care for 2 weeks.
よろしくお願いしますという英語の言い回しは、なかなか使いません。置き換えとして、主にこれから2週間、あなたのお世話になります、ありがとうございます、という意味を意味を込めて、Thank you for your supports for next 2 weeks.やI will be in your care for 2 weeks.というと良いでしょう。
Thank youから始まる文章の時は、これからの2週間ということが明らかになるよつ、nextを追加しています。
I will be in your care for 2 weeks.は未来形が使われているため、そのまま2 weeksとしています。
「2週間よろしくお願いします」という表現は、Please take care of me for the next two weeks. と伝えることができます。ホームステイのホストファミリーなどに対して滞在期間の始めに伝える挨拶としてふさわしい表現です。"Please take care of me"は日本の「よろしくお願いします」と同じようなニュアンスを表す表現で、敬意を表す言い方です。"for the next two weeks"で「これからの2週間」という時間の長さを明確にしています。