I published my own book.
自分の本を出版しました。
ですが、この言い方だと自分で作った印象が強いので、自費出版のイメージが強いかもしれません。
I got an anthology published.
作品集が出版されました。
日本語でも作品集をアンソロジーということがありますよね。
I draw cartoons. My first book is launched.
私はカートゥーンを描きます。初めての本が発売されます。
という言い方もあります。launchは「(ロケットが)打ち上げる」や「(事業に)乗り出す」「攻撃を開始する」など広い意味に使われる単語です。