どちらも「ライターの火がつかない」という言い方です。
1) I can't get my lighter to work.
get ... to work で「…を動作させる」という意味で、「ライターを動作させる」=「ライターの火をつける」になります。
2) My lighter won't light.
「ライター」は lighter
light は「火をつける」という意味です。
もし風が強くて火がつかないなら、
My lighter won't stay lit because of the wind.
「風でライターの火がすぐ消えてしまう。」
とも言えます。
ご参考になれば幸いです!