バドミントンのシャトルがネットに引っかかるときについての質問ですね。
わざと何かをネットや網に引っ掛けることをto catch (something) in the netと言い、不意に引っ掛けることをto get (something) caught in the netと言います。いずれの場合も、(something)のところにかかった物を言います。
例
魚を網に引っ掛ける。
To catch fish in the net.
例
バドミントンのシャトルをネットに引っ掛ける。
To get the shuttlecock caught in the net.
例
自分がネットに引っかけたときは、自分でシャトルを拾いにいき、相手に返しなさい
If you get it caught in the net, you should go get it yourself and give it to the other person.