6月生まれは私だけって英語でなんて言うの？

「～なのは私だけです」と英語で言うときは、I am the only oneとまず言います。
そのあとに関係代名詞thatなどを用いて文章を補足します。

1) I am the only one that was born in June in my class.
「私のクラスの中で6月に生まれたのは私だけです。」

2) I am the only one whose birth month is June in my class.
「私のクラスの中で6月が誕生月なのは私だけです。」

1)も2)も意味としてはだいたい同じですが、
2)にある、birth month「誕生月」は日常会話では使用頻度はあまり多くないため、
1)の文の方がより自然な言いまわしかと思います。

おっしゃられている内容は、
I'm the only one who was born in June.
「私は6月に生まれた唯一の人だ」
と表現できます。

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)