I am the only one that was born in June in my class.
I am the only one whose birth month is June in my class.
「～なのは私だけです」と英語で言うときは、I am the only oneとまず言います。
そのあとに関係代名詞thatなどを用いて文章を補足します。
1) I am the only one that was born in June in my class.
「私のクラスの中で6月に生まれたのは私だけです。」
2) I am the only one whose birth month is June in my class.
「私のクラスの中で6月が誕生月なのは私だけです。」
1)も2)も意味としてはだいたい同じですが、
2)にある、birth month「誕生月」は日常会話では使用頻度はあまり多くないため、
1)の文の方がより自然な言いまわしかと思います。
日本 
