deeplyの意味は「深い」です。 disturbed という言葉には色々な意味がありまして、「頭が変、問題が抱えている、どこか大丈夫じゃない」と言えます。That person is deeply disturbed を言うと、詳しいことを言っていないんですが、何かがおかしいです。心の闇と似ている言い方と思います。
That person has very serious issues は「とても重度の問題を抱えている」という意味です。issuesの意味は「問題」ですのでもう少し詳しく言える言い方になっています。