善管注意義務って英語でなんて言うの？

「善管注意義務」は法律用語なので日常会話ではあまりお目にかからないですね。
keito さんが使用したい文脈（お客様の商品を預かっている自覚を持って欲しくて、伝えたいです。）ホテルのフロントでお客様の荷物を預かっていると言う場面だとしたら

You are responsible for looking after our customer's luggage.
「責任をもってお客様のお荷物をあずかる」というのはいかがでしょうか。