"All the residents voted to elect the new mayor."
「新しい市長を選出するために、住民は皆投票した」
選挙などにより、代表者を選出することを英語では elect と言います。選挙は election です。
ご質問にあるチョイス＝ choice は、英語では「選択肢」といったニュアンスになります。
ご参考なれば幸いです。
「選出」は人の選出なら一般的に"election"といい、モノを選出なら"selection"といいます。
「選出する」という動詞は、"to elect"または"to select"以外に、"to choose"（「選ぶ」）のようにも翻訳できます。
例文：
"We held an election to choose a new chairman."
「新しい議長を選ぶのに選出を行いました。」
"to hold an election"と言う表現は「選出を行う」という意味で、"chairman"は「議長」に相当します。
参考になれば幸いです。
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