「登録」は registration で「登録する」は to register ですが、空港の荷物のチェックインカウンターとのことなので、場合によっては check in 「チェックイン」と言うかもしれません。なので、
1) Whose name was used to register/check in?
登録/チェックインするのに誰の名前が使われましたか？
２）The registration/check in is under which name?
登録/チェックインは誰の名前でされていますか？
ここで使われるunderは、誰の名前の元で、誰の名前の下で登録されていますか？というニュアンスです。この使い方はお店の予約とかでも使えます。The reservation is under my name （予約はわたしの名前でとってあります）のようになります。
どうぞご参考に。
質問者様のお求めの英語は「Who's name did you register with?」になります。
空港のチェックインカウンターで、荷物に対して使う場合は、「Who's name did you register that last piece of luggage with?」（さっきの受託荷物は誰の名前で登録しましたか？）になります。
もし仮に登録名を変えたい場合、その時の英語は次のようになります：
- I would like to change the luggage registration to .......
とは言っても荷物の登録名を変えることはできないと思います。
同じ旅行グループの中の別の人の名前にはできるとは思いますけどね。
荷物に変な違法物が万が一入っていた時のことを考えると登録名を変えることは結構不自然かもしれないですね。
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