回答
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mix private and public matters
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mix business with pleasure
英語も日本語同様、個人的な事と公的(ビジネス的)なことを混ぜる、という言い方をします。
公私混同はしないでください、と言いたい場合は、
Don't mix private and public matters.
Will you stop mixing business with pleasure?
You should put personal affairs aside.
などがあります。
3つめは、personal affairs(個人的なこと)は脇に置いてください、つまり個人的な事情を入れないでください、という意味ですね。
こちらもよく使いますので、ぜひ覚えておいてください。
回答
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mixing of public and private matters
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mix up one's job and private life
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mix up public and private matters
「混同」とは混ぜ合わさっている事なので、英語でも "mix" を使います。
"up" を付け、『ごちゃ混ぜ』な意味合いを更に出す表現もありますね!^^
"Don’t mix up public and private matters."