焼肉ライスバーガーって英語でなんて言うの？

そのままで申し訳ないですが、個人的には Yakiniku は近年メジャーになってきていますので、そのまま言う方が雰囲気は出ると思います。
Yakiniku ＝ Grilled-beef ですが、焼肉はただ肉を焼いているだけではなく和風の味付けをされたものなので、料理のひとつとして確立しているのではないかと思います。

説明でしたら以下はどうでしょうか。

Soy sauce seasoned grilled beef is sandwiched between buns made of rice.
醤油で味付けされた焼肉が米でできたバンズに挟まれています。