1) I would like for us to become like a true family.
(私たちが本当の家族のようになれたら良いです。)
would like は want の丁寧な言い方です。例えば、I want cake だと「ケーキがほしい」で I would like to have some cake だと「ケーキをいただいても良いですか」というニュアンスです。この場合はI would like for us to become like a true family - 「真の家族のようになれたら良いと思います」という感じです。
2) I want us to be like a real family.
(私たちが本当の家族のようになって欲しいです)
real family = 本物の家族
to be like = のようになる
どうぞご参考に。