「お忘れなく」という言い方は
don't forget や remember を使って言うことが一般的だと思います。
Don't forget to take your umbrella when you leave home.
「家を出る時に傘を持って行くのを忘れないように。」=「お忘れなく」
forget で「忘れる」
Remember to take your umbrella(s) with you when you leave the house.
「家を出る時に傘を持って行くのを覚えておくように。」=「お忘れなく」
remember で「思い出す・覚えておく」
ご参考になれば幸いです!