"先に始めといて"は「Go ahead and start without me」や「Get a head start」を使えますね。
最初の「Go ahead and start without me」は"私抜きで先に始めててください"と言う意味になりますね。こちらの例では「Go ahead and start」で"先に始めてください"と表現してます。「Go ahead」だけだと"先に進む"や(話し相手に対して)"先にどうぞ"と言う意訳になります。「without me」は"私抜きで~"の訳となります。
次の例の「Get a head start」は"先に始める、進む"と言う意味になります。