I'm not feeling well, can I come in to see the doctor earlier?
予約、特に病院やクリニックについて使う場合は、appointmentになります。ちなみに、ホテルや旅行について使う場合はreservationになります。使い方で変わります。
変更はchangeかmoveでも使えます。moveは特に予約についての話しで使う事ができます。
Is it possible...は「可能性がありますか?」になります。
最後のI'm not feeling well, can I come in to see the doctor earlier?の意味は
「体調が悪いので、もう少し早くお医者さんに行っても大丈夫ですか?」
と言う意味になります。