損害賠償は「compensation for damages」や「reparation for injury」になりますね。
"賠償"だけなら「compensation」か「reparation」で表します。「compensation」は"補償金"、"補充"や"償い"と言う意味になり「reparation」はそのまま"賠償"や"修繕"と言う意味になります。"損害"や"損傷"は「damages」や「injury」で表現しています。
indemnity＝「（損失などへの）倍賞（金）」
demand＝「要求する」
damage caused＝「被った被害」
I demanded indemnity for the damage caused in the car accident.
「私はその車の事故で生じた被害に対して損害賠償を求めた」
ご参考まで
アメリカ合衆国 
日本 
