I wonder how many different countries I'll visit next year?
主語が不確かなので、もし質問者さんが自分のことを言っているなら
I wonder how many different countries I'll visit next year?
「来年は何カ国行けるかな?」
のように、I wonder how many different countries I will visit ... と言うと良いです。
もし旅行好きの友達が何カ国行けるかな?と相手に聞いているなら
What countries do you think you might travel to next year?
「来年どの国に行くと思う?」
What countries と聞くことで、何カ国かわかりますので、このように聞いてもいいかと思います。
ご参考まで!
How many countries can I visit (
Go)next year ? 来年は何カ国行けるかな?
How many countries で何カ国になります。この際、countries 国は複数形になります。
Can I visit (go)で、行けるかな?can の後に主語を入れ替えますと、質問文に変わります。
参考になれば幸いです♪