ーMy cat likes to sleep right next to me.
「うちの猫は私の真横で寝るのが好きです。」
right next to me で「すぐ横・すぐ隣」という意味です。
ーMy cat loves to cuddle with me at night.
「うちの猫は夜、私にぴったり寄り添って寝るのが大好きです。」
cuddle は「ぴったり寄り添う・寄り添って寝る」という意味です。
「添い寝」というイメージには、この cuddle がぴったりかなと思います。
ご参考まで！
うちの猫が私にくっついて寝ることを好むという状況は、"My cat loves to snuggle up with me when we sleep." や "My cat likes to cuddle with me in bed." と表現できます。"snuggle up" や "cuddle" は身体を寄せ合って暖かく柔らかい感じを楽しむ様子を示す表現で、特にペットが飼い主に近づいて寝る行動を表すのに適した言葉です。夜になると必ずそうするという部分は "Every night, my cat always snuggles up to me." とも表現できます。
役に立ちそうな単語とフレーズ:
cozy up 「心地よく寄り添う」
nuzzle 「鼻をすり寄せる」（愛情を表す行動）
sleep beside 「隣で寝る」
カナダ 
アメリカ合衆国 
