"to watch like a hawk"は「虎視眈々と狙う」を意味します。「狩猟中の鷹のように見つめる」ことです。普通は、危ないことや違法なことをしないように見守る感じですが、「社長の座を虎視眈々と狙う」場合に使っても意味が通じます。
"to have eyes on"も「虎視眈々と狙う」を意味します。野望・欲張りの原因で何かを見つめることです。
"to gun for"も「虎視眈々と狙う」を意味します。これは"to have eyes on"とほぼ同じですが、"gun"があるから「銃で狙いをつける」比喩になりもっと激しい野望・欲張りを表示します。"to have/set sights on"という表現もあって、"sights"は「照準器」なので"to gun for"とほぼ同じ意味合いです。
例文一:
I heard he is watching the president's position like a hawk.
彼は社長の座を虎視眈々と狙っているそうです。
例文二:
I heard he has eyes on the president's position.
彼は社長の座を虎視眈々と狙っているそうです。
例文三:
I heard he is gunning for the president's position.
彼は社長の座を虎視眈々と狙っているそうです。
例文四:
I heard he has his sights on the president's position.
彼は社長の座を虎視眈々と狙っているそうです。