Please call me by the American version of my name.
Please refer to me using the American version of my name.
最初の言い方は、私の名前をアメリカンネ-ムで呼んでくださいと言う意味として使いました。
最初の言い方では、Please はお願いしますあるいはもっと丁寧な言い方の時に使います。by the American version of my name はアメリカンネ-ムでと言う意味として使いました。
二つ目の言い方は、私のことはアメリカンの名前を使って呼んでくださいと言う意味として使います。
二つ目の言い方では、refer to me はそうやって呼んでくださいと言う意味として使いました。
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英語では
**English name** や **American name** を使って表現します。
■ Please call me by my English name.
「英語の名前で呼んでください」
→ 丁寧で自然な言い方です。初対面やビジネスでも使えます。
■ You can call me 〜.
「〜って呼んでいいよ」
→ カジュアルでよく使われる言い方です。
アメリカ合衆国 
