Is there any possibility that I could be admitted mid-semester?
「学期の途中」は “mid-semester” と言います。学期は “semester” で “mid” は “middle” みたいに「中」の事です。「編入」は “admission” と言います。 “Can I be admitted mid-semester?” (学期の途中で編入出来ますか?)でも通じますが、 “Would it be possible” の方が丁寧に聞こえます。どちらも「出来ますか?可能ですか?」の意味ですが、「出来ますか?」と「可能でしょうか?」みたいに丁寧さが違います。 “Is there any possibility” は「可能性ありますか?」になります。この言い方も丁寧ですが、 “Would it be possible” より少し必死な感じがすると思います。
"Would it be possible to accept a mid-term transfer student?"
・"Would it be possible to accept a mid-term transfer student?"
「学期の途中からの編入を受け付けていただけませんか?」という意味です。
mid-term transfer(学期途中の編入)で説明できます。
・"Could you please consider accepting my enrollment in the middle of the semester?"
「学期の真ん中からの私の入学を受け入れることをどうかご検討いただけないでしょうか(学期の途中からの編入を受け付けていただけませんか?)」という意味の表現です。