朝はずっと忙しかったって英語でなんて言うの？

そうですね。（I've been so busy since this morning.）を言えば、「現在時刻6PMでも忙しい」という意味になりますので、言い方を変えたほうがいいです。

その代わりに、「一日中忙しかったのではなく、朝に限りずーっと忙しかった」という意味が入っている表現は I was busy all morning になります。

例文　I was busy all morning, but now I don't have much to do.
「朝にずっと忙しかったけど、今は用があまりないんだ。」

例文　I was busy all night, but now I'm free.
「夜中ずっと忙しかったけど、今は暇がある。」

参考になれば幸いです。

takuyaさんのおっしゃる通り、 I've been so busy .... を使って言うと、朝から今までずっと忙しいことになりますので、朝だけ忙しいことを言いたいなら、次のように言うと良いでしょう。

ーI was busy all morning.
「午前中ずっと忙しかった。」
all morning「午前中ずっと」を使うことで朝に限り忙しかったことが言えますね。

ーI didn't have one free moment this morning.
「今朝はちっとも自由な時間がなかった。」
one free moment は「１つの自由な瞬間」と直訳でき、忙しくて隙間時間がなかったというようなニュアンスです。

ご参考まで！