外出自粛要請のせいで、どんどんふさぎ込んでいっちゃうって英語でなんて言うの？

外出自粛要請 self quarantine
のせいで because of
どんどん slowly
ふさぎ込んでいっちゃう become depressed/start to feel down

この訳に people (人々）を入れました。これが、誰かがではなく、みんながこのことになるという意味になります。

英語の必要な主語を入れないと、文がすこしおかしくなりますので。

最後の「ちゃう」はこの場合に unfortunately (残念ながら）が相当することになると思います。

「ふさぎ込む」は become depressed か feel down にすれば、適している言い方になると思います。

参考になれば幸いです。

can become～＝「～になる」
Canは「可能性がある」という意味でも使えます
anxious ＝「不安」
depressed＝「うつ」

People can get anxious or depressed if they stay at home for too long.
人は家にいる期間が長すぎると、不安や鬱になる可能性があります。

ご参考までに