Because of the request to self quarantine, people will unfortunately slowly become depressed.
外出自粛要請 self quarantine
のせいで because of
どんどん slowly
ふさぎ込んでいっちゃう become depressed/start to feel down
この訳に people (人々）を入れました。これが、誰かがではなく、みんながこのことになるという意味になります。
英語の必要な主語を入れないと、文がすこしおかしくなりますので。
最後の「ちゃう」はこの場合に unfortunately (残念ながら）が相当することになると思います。
「ふさぎ込む」は become depressed か feel down にすれば、適している言い方になると思います。
参考になれば幸いです。
People can become anxious or depressed if they stay at home for too long.
can become～＝「～になる」
Canは「可能性がある」という意味でも使えます
anxious ＝「不安」
depressed＝「うつ」
People can get anxious or depressed if they stay at home for too long.
人は家にいる期間が長すぎると、不安や鬱になる可能性があります。
ご参考までに
オーストラリア 
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