I like drinking and cooking while listening to music.
I love to cook and have a drink with music playing in the background.
mamiさんの英語で1つだけ直すなら、music に the をつける必要はなので、listening to music とします。
他にもいろんな言い方ができますが、いくつか挙げてみますので参考にしてください。
I like drinking and cooking while listening to music.
「音楽を聴きながら、飲んで料理をするのが好きです。」
I love to cook and have a drink with music playing in the background.
「BGMをかけながら料理をしてお酒を飲むのが大好きです。」
ご参考まで!