進むは"Progress"や"Continue"と言います。それと表現で"Go on"も言えます。
"The story got better the more I watched"
[番組]を見るにつれてストーリーがどんどん面白くなったと言います。
「につれて」は"As..."と言います。
例えば、
「時間がたつにつれて私たちが賢くなる。」は"As time goes on, we get wiser."です。
「映画が進むにつれてつまらなくなりました。」は"As the movie went on, it got boring."です。
ご参考にねれば嬉しいです!