Connections between servers across a local area network (LAN).
こんにちは!
ご質問ありがとうございます。
『サーバー間のローカル接続』は、
Connections between servers across a local area network (LAN).
と言えます。
『同一LANにおいてローカル接続したい』は、
I would like to connect to the same local area network. となります。
LANの説明
A local area network (LAN) is a computer network that interconnects computers within a limited area such as a residence or school.
ローカルエリアネットワーク(LAN)は、住宅や学校などの限られた範囲内のコンピュータをつなぐコンピューターネットワークのことです。
参考になれば幸いです。