ご質問ありがとうございます。
「たまたま仕事が休みだった」を英語にすると、I just happened to have the day offになります。こちらの表現はちょっと直訳から遠いんですが、よく使われている自然な言い方です。伝わることが変わらないので、こちらの表現にするべきだと思います。
では、単語を見てみましょう。
I 私
just happened to たまたま
have ある・持つ
day off 休み
just happened toのところはもちろん、単語ずつに調べることもできますが、今回は動詞のフレーズとして使われているので、単語の意味を説明しても「たまたま」という意味になりません。「ちょうど起こった」という意味になってしまいます。今回の言い方はそちらの意味ではないので、無視してもいいと思います。I just happened toを他の場面でも使うことができます。「たまたま」が使える場面では基本的に使えます。
ご参考になれば幸いです。
I had the day off on my birthday just by chance this year.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーMy birthday fell on one of my days off.
「私の誕生日は休みの日に当たった」
to fall on で「日付が〜に当たる」
ーI had the day off on my birthday just by chance this year.
「今年の誕生日はたまたま休みの日だった」
just by chance で「たまたま」と言えます。
ご参考まで！
カナダ 
