こういった場合"日々の出来事"の"出来事"は「occurrences」や「events」とも表現できますね。
「happenings」も同じく"出来事"や"事件"と言う意味になりますのでどれを使ってもとくに問題はありませんね。
例
・I keep track of daily events in my diary（日々の出来事を日記に書きとめています）
・Would you like to discuss any recent occurrences?（最近起きた事の相談をしますか？）
日々の出来事は「Daily events」と表すことができます。
Daily は「日々の」という意味の英語表現です。events は「出来事」を示す表現になります。
例えば他には daily occurrences と言えば「日常の出来事」を指すことができます。everyday happenings なら「毎日の出来事」です。
下記は例文ですのでぜひ参考にしてください：
I like to journal about my daily events before going to bed.
寝る前に日々の出来事を日記に書くのが好きです。
アメリカ合衆国 
