There are so many problems/inconsistencies that I don't even know where to begin!
There's so much wrong (with your story) that I don't even know where to begin!
ご質問ありがとうございます。
「突っ込む」はpenetrateとかgo intoとかget intoと言います。でも、上記の二つの文では日本語から直接英語に翻訳したわけではなくて、日本語と同じ意味のよく使われている英語の表現を紹介しています。
There are so many problems/inconsistenciesはお「前の話で問題/矛盾点が多すぎる」という意味です。problemsとinconsistenciesの後に2番目と同じようにwith you storyをつけることもできます。
I don't even know where to beginは「突っ込みってどこから始めた方がいいかわからん!」の意味です。
ご参考いただければ幸いです。