アカウントに関しての話の流れで here's the new one と言っても
おかしくないですが突然に言われると 何の one とはてなになると思います。
アカウントで account と言う単語を使うのが無難でしょう。
これが私の新しいアカウントと言う意味で後者の
here's my new account と言うと良いです。
My じゃなくて the を使うのも有。
「新しい」は英語で "new"、SNS などの「アカウント」は英語で "account" と言うので、「これは（私の）新しいアカウントです」と言うには "this is my new account." と言うといいでしょう。
例文：
This is my new account, please give it a follow! 「これは私の新しいアカウントなので、フォローしてください！」
This is my new account, please delete the old one! 「これは私の新しいアカウントなので、古いアカウントは消してください！」
ご参考になれば幸いです。
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