The person responsible (for my massage/for my haircut)is very good.
ご質問ありがとうございます。
「私の担当の人はとても感じがいい」は英語で言いますと「The person responsible (for my massage/for my haircut)is very good.」になると思います。
「マッサージの担当」は「My attending masseuse」も言えます。
「担当医」は「Attending physician」を言いますね。
「美容院の担当」の場合は「My hair dresser」を使っていいと思います。「The person in charge of cutting my hair」もOKです。
役に立てば幸いです。