「まぁ、要するに故障なんですが、完全に動かない訳ではなくて、操作すると動くけれど何分加熱しても温まらない」というのは To make a long story short, my microwave is broken, but not to the point where it doesn't work at all. When I operate it it works, but regardless how many minutes it goes for, it doesn't get warm で表現できます。
このシチュエーションに「動く」は work（作動する）にすればいいと思います。
例文 My computer works, but it is very slow.
「パソコンは動きますが、とても遅いです。」
参考になれば幸いです。
My microwave turns on, but it won't heat up the food even if you set it for several minutes.
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーMy microwave turns on, but it won't heat up the food even if you set it for several minutes.
「電子レンジは動くんだけど、何分やっても食べ物が温まらない」
ここの「動く」は、電子レンジの中の電気がついたり、回ったりすることを言っているので、to turn on を使って言うと良いでしょう。
ご参考まで！
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