荷物を預ける場所って英語でなんて言うの？

「荷物を預ける場所」は英語で「Baggage check」や「Baggage storage」という表現が良いと思います。「Baggage」も「Luggage」も「荷物」という意味があります。「預ける」には英語で「To check baggage/luggage」という言葉です。
「I work at the luggage check」、「I work at the hotel's baggage storage room」という説明が分かりやすいと思います。

cloakはそもそも「外套や重たい上着」のことですので、cloakroomと言えばゲストの上着や帽子、傘などを預ける場所と言うイメージが浮かんできます。

ですので、ホテルでゲストのスーツケースや荷物を預かる場所なら「luggage storage」や「luggage room」が良いと思います。私がカナダのホテルで働いていた時も、これらのように呼んでいました。「baggage room」でもいいですよ。

cloakroomと言う言葉を使いたいけど相手がわかってくれない時は
「I work at the hotel's cloakroom where guests can keep their luggage.」
などと伝えてみてはどうでしょう。

「荷物を預ける場所」は英語で次のように言えます。
ーa place you can leave your belongings
ーa place to keep guests' baggage

例：
Is there a place where I can drop off my bags?
「鞄を預けられる場所はありますか？」
a place where I can drop off my bags という言い方もできます。

ご参考まで！