ご質問ありがとうございます。
「まで」はuntilかbeforeと言います。beforeは「の前に」の意味もあります。
回答文では「その日」はon that dayに訳しています。その文を入れなくても相手として意味が変わらないと思います。
「何時」はwhat timeになります。例えば、What time is it?（何時ですか）です。他の言い方はwhenです。
ご参考いただければ幸いです。
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
『その日何時まで遊べる？』は、
Until what time can we hang out on that day? と言えます。
友人に聞くのであれば、
How late can we hang out on that day?
『その日どのくらい遅くまで遊べる？』
What time do you have to go home on that day?
『その日は何時に家に帰らなければ行けないの？』
と聞いてもよいかもしれないですね！
メモ
hang out together 一緒に過ごす、のんびりする
参考になれば幸いです。
ご質問ありがとうございます。
・「Until when can you hang out?」
＝何時まで遊べる？
（例文）Until when can you hang out?// I gotta leave around four. Are you okay with that?
（訳）何時まで遊べる？//四時には行かないといけない。それでも大丈夫？
お役に立てれば嬉しいです。
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