夏の間、バイトをしたって英語でなんて言うの？

まず my part-time job は I worked と言っているので、my と言う必要ありません。
this summer と言う場合は in は使わないので気をつけましょう。

ーI worked a part-time job this summer.
「この夏、アルバイトをした。」

ーI had a part-time job over the summer.
「夏の間、アルバイトをした。」
had a part-time で「バイトをした」
over the summer で「夏の間」

ご参考まで！