国の威信を賭けて戦うって英語でなんて言うの？

「国の威信をかけて戦う」は
to fight for the honour of one's country
「国の威信のために戦う」
to honourably represent one's country in an international sporting event
「国際的スポーツイベントで威信をかけて国を代表する」
のように、honour や honourably を使って表現するのが良いかと思います。

例：
My friend had the honour of representing his country at the Olympics.
「友人はオリンピックで威信をかけて国を代表した。」

honour は「名誉」という意味で使われますが、人から信用されて得る名誉や、信用・面目などの意味があります。

ご参考まで！

こんにちは。
さまざまな言い方ができると思いますが、下記のような英語表現はいかがでしょうか：

・compete for the pride of (one's) country
国の威信をかけて戦う

pride は「プライド」「誇り」という意味の英語表現です。
compete は「競う」のようなニュアンスです。

ぜひ参考にしてください。