お名前の漢字はどんな漢字ですかって英語でなんて言うの？

ーWhat are the Chinese characters for your name?
「お名前の漢字はどんな漢字ですか？」
聞く相手が日本人以外なら「漢字」は Chinese characters と言えば良いでしょう。

ーWhat kind of ideograms do you use in your name?
「お名前にどんな漢字を使っていますか？」
ideogram は漢字などの表意文字のことを言い、この場合にも使えます。

ご参考まで！